Análisis Matemático III -- Variable Compleja

Unidad 1. Números complejos y funciones.

Operaciones aritméticas en el cuerpo de los números complejos. Representación polar. Conjugación. Desigualdad triangular. Raíces y potencias. Topología del plano complejo. Esfera de Riemann. Sucesiones de números complejos. Funciones. Límites y continuidad.


Unidad 2. Funciones holomorfas.

Derivada compleja. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas. La función exponencial. Funciones trigonométrica e hiperbólica. Función argumento. Teorema de la función inversa. La función logaritmo.


Unidad 3. Integración en el plano complejo.

Curvas en el plano complejo. Integración en el plano complejo a lo largo de curvas. Fórmula de Green. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Liouville. Principio del módulo máximo. Teorema de Morera. La función primitiva en un dominio simplemente conexo. Fórmula integral de Cauchy. Singularidades aisladas.


Unidad 4. Teorema de los residuos

Series de potencias. Principio de los ceros aislados. Principo de prolongación analítica. Series de Laurent. Teorema de los residuos. Aplicaciones al cálculo de integrales.

 

Unidad 5. Algunos teoremas fundamentales de la variable compleja.

Teorema de Rouché. Principio del argumento. Lema de Schwarz.

 

Unidad 6. Introducción a la representación (transformación) conforme.

Transformaciones de Möbius. Los automorfismos del disco. Enunciado del teorema de representación conforme de Riemann. Aplicaciones conformes entre distintos dominios simplemente conexos en el plano.