Programa analítico

  1. Números complejos y funciones.

Objetivo particular:  que el/la estudiante conozca los nuevos conceptos de   números complejos, topología en el plano complejo y las funciones de variable compleja

 

Operaciones aritméticas en el cuerpo de los números complejos. Representación polar. Conjugación. Desigualdad triangular. Raíces y potencias. Topología del plano complejo. Esfera de Riemann. Sucesiones de números complejos. Funciones. Límites y continuidad.

 

  1. Funciones holomorfas.

Objetivo particular: que el/la estudiante  comprenda y utilice la derivación de funciones complejas y el concepto de función holomorfa, junto con las particularidades de las funciones especiales.

Derivada compleja. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas. La función exponencial. Funciones trigonométrica e hiperbólica. Función argumento. Teorema de la función inversa. La función logaritmo.

 

  1. Integración en el plano complejo.

Objetivo particular:  que el/la estudiante comprenda y utilice la integración en el plano complejo así como también la Fórmula de Cauchy y sus consecuencias. Conocer aplicaciones de variable compleja a otras áreas de la Matemática (teorema fundamental del álgebra).

 

Curvas en el plano complejo. Integración en el plano complejo a lo largo de curvas. Fórmula de Green. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Liouville. Principio del módulo máximo. Teorema de Morera. La función primitiva en un dominio simplemente conexo. Fórmula integral de Cauchy. Singularidades aisladas.

 

  1. Teorema de los residuos

Objetivo particular: que el/la estudiante comprenda y desarrolle en series de potencias analizando singularidades en el contexto de la aplicación del teorema de residuos.

 

Series de potencias. Principio de los ceros aislados. Principio de prolongación analítica. Series de Laurent. Teorema de los residuos. Aplicaciones al cálculo de integrales.

 

  1. Introducción a la representación (transformación) conforme.

Objetivo particular: que el/la estudiante comprenda y utilice loa conceptos de transformaciones que preservan ángulos y sus aplicaciones.

Transformaciones de Möbius. Los automorfismos del disco. Enunciado del teorema de representación conforme de Riemann. Aplicaciones conformes entre distintos dominios simplemente conexos en el plano.